Меню

Способы описания прямолинейного движения




Изучение прямолинейного движения мы начнем с самого простого его вида. Еще раз рассмотрим график движения муравья, приведенный на рис. 11. Мы видим, что характер движения муравья менялся дважды. Сначала он двигался, пробегая 1 см за каждую секунду, затем стоял на месте, потом снова двигался в положительном направлении оси X, но уже быстрее, чем раньше, - пробегая за каждую секунду 2 см. В целом, за семь секунд движения муравья было неравномерным: муравей то бежал, то останавливался.

Вместе с тем в первые три секунды он пробегал по 1 см за каждую секунду. Значит, в первые три секунды за равные промежутки времени (по одной секунде) муравей пробегал в одном и том же направлении равные расстояния (по одному сантиметру).

Если это условие будет выполняться для любых равных промежутков времени (например, каждые полсекунды, четверть секунды и. д.), то движение муравья будет равномерным.

Прямолинейное движение тела называют равномерным, если тело за любые равные промежутки времени проходит равные расстояния в одном и том же направлении.

В соответствии с этим определением движение муравья в последние две секунды также являлось равномерным: он за любые равные промежутки времени пробегал равные расстояния в одном направлении.

Отметим, что в данном определении, как и в любом другом, каждое слово имеет важное значение. Так, например, если убрать слова «в одном и том же направлении», то движение тела может оказаться неравномерным, даже если это тело будет проходить равные расстояния за любые равные промежутки времени.

Это произойдет в случае, если тело в некоторый момент времени изменит направление своего движения на противоположное.

Чтобы лучше понять данное определение, рассмотрим конкретный пример равномерно движущегося тела.

Пусть по прямолинейной дороге, как показано на рис. 13, катится мальчик на велосипеде. Будем следить за движением фары этого велосипеда, считая ее точечным телом.

Как мы уже знаем, для описания механического движения тела (фары) необходимо ввести систему отсчета. Выберем в качестве тела отсчета землю, по которой движется велосипед. За начало отсчета примем место, где растет дерево на обочине дороги.

Координатную ось направим от выбранного начала отсчета параллельно дороге по направлению движения велосипеда. В качестве единицы длины выберем 1 м. Включим секундомер в тот момент, когда фара была в 10 м от начала отсчета, и будем фиксировать ее координату в последующие моменты времени. Пусть в результате проведенных измерений мы получили график изменения координаты фары с течением времени, изображенный на рис. 14.

Видно, что линия, описывающая зависимость координаты фары от времени, является прямой. Для того чтобы описать движение фары, прежде всего отметим, что она двигалась в положительном направлении оси X. Кроме того, за каждую (любую) секунду движения ее координата увеличивалась на 5 м (т. е. на одинаковую величину), за каждые две секунды — на 10 м и. д. Следовательно, в соответствии с данным в начале этого параграфа определением мы имеем дело с прямолинейным равномерным движением.

Теперь вспомним еще об одном способе описания движения — табличном.

Сделаем заготовку для таблицы и заполним. При этом значения координаты тела в разные моменты времени мы будем находить не из графика, а из того, что мы знаем: а) начальную координату фары x0 = 10 м и б) то, что за каждую секунду координата фары увеличивалась на 5 м.

Для удобства и краткости записи часто используют переменные с индексом. Например, ранее при описании движения муравья мы использовали для обозначения его координаты символ xм (читается «икс эм» или «икс с индексом эм»). При описании движения велосипедиста для обозначения координаты фары в начальный момент времени (t = 0) будем использовать символ x0 (читается «икс нулевое» или «икс с индексом ноль»).

Соответственно для координаты фары в момент времени t1 — символ x1 (читается «икс один»).

В нижнюю клетку столбца, соответствующую начальному моменту времени t = 0, поставим число 10, так как x0 = 10 м. В дальнейшем будем называть этот столбец нулевым.

В следующую клетку, соответствующую моменту времени t = 1, нужно поставить число, равное координате фары в момент t1. Найдем это число из следующих рассуждений.

В течение первой секунды фара двигалась в положительном направлении оси X. Следовательно, ее координата должна была увеличиться. Так как за одну секунду велосипедист проезжал 5 м, координата увеличилась за эту секунду именно на 5 м.

Значит, чтобы найти значение координаты x1 в момент времени t = 1, надо к начальной координате x0 = 10 м прибавить 5 м.

Поэтому

x1 = (10 + 5) м = 15 м.

Чтобы найти координату x2 в момент t = 2, вычислим, на сколько изменилась ее координата за две секунды после включения секундомера. Поскольку за каждую секунду фара смещается на 5 м, то за две секунды она переместится на (5 * 2) м = 10 м. Так как фара движется в положительном направлении оси X, то ее координата за две секунды увеличится на (5 * 2) м.

Разность между конечным и начальным значениями координаты называют изменением координаты. В данном случае изменение координаты фары за две секунды движения (от момента t0 до момента t2) составило x2 – x0 = 10 м.

Таким образом,

x2 = (10 + 5 * 2) м = 20 м.

Проводя аналогичные рассуждения, можно найти изменения координаты фары за три, четыре, пять и шесть секунд движения велосипедиста, а затем и значения координаты фары в каждую из первых шести секунд движения:

x1 = (10 + 5 * 2) м = 15 м,
x2 = (10 + 5 * 2) м = 20 м,
x3 = (10 + 5 * 3) м = 25 м,
x4 = (10 + 5 * 4) м = 30 м,
x5 = (10 + 5 * 5) м = 35 м,
x6 = (10 + 5 * 6) м = 40 м.

Теперь мы подошли к очень важному моменту.

Посмотрим внимательно на полученные нами выражения для координаты фары в разные моменты времени. Можно сказать, что они похожи и написаны по одному правилу. Или, как говорят физики, в этом случае наблюдается определенная закономерность. В чем же она заключается?

Рассмотрим подробно, что представляет собой каждое из чисел при расчете координаты фары, например, в момент времени t = 7 c (рис. 15).

Во-первых, для получения значения координаты фары в любой момент времени t надо к ее начальной координате x0 прибавить изменение координаты за промежуток времени от начального момента времени t = 0 до t.

Во-вторых, при равномерном прямолинейном движении это изменение координаты можно получить, если умножить изменение координаты за одну секунду (в нашем случае — это 5 м) на число секунд, прошедших от момента t = 0 до момента t (в нашем случае — это 7 с).

Таким образом, мы получаем выражение, которое позволяет рассчитать координату x фары в любой момент времени t:

x = 10 + 5 * t.

Следовательно, если мы знаем начальную координату изменение его координаты за каждую секунду, мы можем получить зависимость координаты тела от времени t.

Выражение, описывающее зависимость координаты тела от времени, называют законом движения этого тела.

Если в это выражение подставить конкретное значение времени t, то оно превратится в уравнение, позволяющее вычислить координату тела в этот момент.

Отметим, что если мы знаем закон движения тела, то мы можем решить и обратную задачу — определить момент времени, в который тело будет находиться в точке с заданной координатой.

Пример
Определить показание секундомера в тот момент, когда координата фары велосипедиста на рис. 13 равна 60 м, при условии, что велосипедист все время движется одинаковым образом.
Решение
Поскольку мы знаем начальную координату тела (x0 = 10 м) и расстояние, которое проезжает велосипедист за единицу времени (5 метров за каждую секунду), то закон его движения имеет вид:
x = 10 + 5 * t, где t — искомое показание секундомера.
Подставив координату в интересующий нас момент времени x = 60 м в этот закон, получим уравнение:
60 = 10 + 5 * t,
60 – 10 = 5 * t,
50 = 5 * t,
t = 10.
Ответ: на секундомере будет 10.

В полученном нами выражении x = 10 + 5 * t изменение координаты за единицу времени является постоянной величиной, так как мы рассматриваем прямолинейное равномерное движение.

Эту величину принято обозначать латинской буквой v. Поэтому найденную нами зависимость в аналитической форме (в виде формулы) можно записать в виде:

x = x0 + v * t.

Представление зависимости координаты тела от времени в виде формулы — еще одни, третий способ описания движения. Его называют аналитическим.

Итоги

Прямолинейное движение тела называют равномерным, если тело за любые равные промежутки времени проходит равные расстояния в одном и том же направлении.

Изменение координаты тела за промежуток времени от момента t1 до момента t2 называют разность x2 – x1 между конечным и начальным значениями координаты.

Прямолинейное равномерное движение характеризуется тем, что изменение координаты тела за единицу времени (ее обычно обозначают латинской буквой v) есть величина постоянная.

График зависимости координаты x тела от времени t для такого движения представляет собой прямую линию.

При этом зависимость координаты тела от времени имеет вид:

x = x0 + v * t,

где x0 — начальная координата тела, t — момент времени после начала движения, v — постоянная величина, равная изменению координаты тела за единицу времени, x — координата тела в момент времени t.

Главная

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ

Кинематика точки

В задачах данного раздела определяются координаты, скорость, ускорение точки в любой назначенный момент времени при различных способах задания движения.

Из всех способов задания движения точки наибольшее распространение получили координатный и естественный способы.

Рассмотрим вначале координатный способ задания движения точки. Положение в пространстве движущейся точки определяется тремя координатами в декартовой системе координат. Эти координаты задаются как функции времени:

; ; . (1)

Зависимости (1) называются уравнениями движения точки в декартовых координатах.

Если движение точки происходит в плоскости ху, то задаются только два уравнения движения:

; .

При прямолинейном движении точки достаточно задать одно уравнение движения:

> .

если принять, что ось х совпадает с прямой, по которой движется точка.

Скорость точки представляет собой вектор, характеризующий быстроту и направление движения точки в данный момент времени.

При задании движения точки уравнениями (1) проекции скорости на оси декартовых координат равны:

; ; .

Модуль скорости

. (2)

Направление скорости определяется направляющими косинусами:

Если движение точки задается в плоскости ху, то ;

;

При прямолинейном движении по оси х:

;

>.

Характеристикой быстроты изменения скорости является ускорение а. Ускорение точки равно производной от вектора скорости по времени:

.

При задании движения точки уравнениями (1) проекции ускорения на координатные оси равны:

; ; .

Модуль ускорения:

. (3)

Направление ускорения определяется направляющими косинусами

Если движение точки задается в плоскости ху, то ; ;

;

>

При прямолинейном движении по осих

; .

Далее рассмотрим естественный способ задания движения точки.

Считается, что движение точки задано естественным способом, если указаны ее траектория и закон изменения криволинейной координаты . Уравнение называется законом движения точки по траектории. При этом на траектории указывается начало отсчета, а также положительное направление отсчета координаты sв виде стрелки .

Модуль скорости точки определяется по формуле

. (4)

Вектор скорости V направлен по касательной к траектории в сторону стрелки , если

> , и в противоположную сторону, если .

Ускорение точки определяется как векторная сумма касательного и нормального ускорений точки:

.

Модуль касательного ускорения определяется по формуле

. (5)

Вектор касательного ускорения направлен по касательной к траектории в сторону стрелки , если , и в противоположную, если .

Модуль нормального ускорения определяется по формуле

, (6)

где – радиус кривизны траектории в данной точке.

Вектор нормального ускорения

> всегда направлен по главной нормали в сторону центра кривизны траектории.

Модуль полного ускорения

. (7)

Если движение точки задано координатным способом, то можно определить параметры движения, характерные для естественного способа задания движения.

Так можно, например, по уравнениям движения точки (1) найти уравнение ее траектории в форме зависимости между координатами. Для этого надо из уравнений движения исключить время t.

Затем можно найти закон движения точки по траектории

§ 12. Графики зависимости пути от времени

>, используя формулу (4). Из этой формулы следует, что ; с учетом формулы (2) имеем и . (8)

В законе движения (8) за начало отсчета координаты s принимается начальное положение точки, когда . Знак “плюс” или “минус” перед интегралом ставится в зависимости от выбора положительного направления отсчета координаты s: если движение точки начинается в сторону стрелки , то следует брать знак “плюс”, в противном случае – знак “минус”.

Рассмотрим случай, когда движение точки задается в полярных координатах.

Пусть точка М движется все время в одной и той же плоскости. Тогда ееположение можно определить полярными координатами

> и (рис.1)

Рис.1


При движении точки эти координаты с течением времени изменяются. Следовательно, закон движения точки в полярных координатах будет задаваться уравнениями

, .

Скорость точки численно равна отношению элементарного перемещения к промежутку времени , то есть / . В данном случае перемещение геометрически слагается из радиального перемещения, численно равного , и поперечного перемещения, перпендикулярного радиусу

> и численно равного . Следовательно, сама скорость будет геометрически складываться из радиальной скорости и поперечной (трансверсальной) скорости , численно равных

, .(9)

Так как и взаимно перпендикулярны, то модуль скорости точки определится по формуле

.(10)

Формулы (9) и (10) определяют скорость точки в полярных координатах при плоском движении.

Ниже приводятся (без вывода) формулы для определения проекций ускорения

> на радиальное и трансверсальное направления, а также для определения его модуля

,(11)

.

Рассмотрим примеры решения задач.

Пример 1. Точка движется по эллипсу так, что угловая скорость радиуса-вектора , соединяющего точку с центром эллипса, постоянна и равна . Определить скорость этой точки.

Решение.

Выразим декартовы координаты точки через полярные координаты и (рис.2).

Рис.2


где .

Подставив эти значения в уравнение эллипса, получим

> .

Из последнего равенства для радиуса-вектора имеем

.

Воспользовавшись формулами (1) и (2), найдем радиальную и трансверсальную составляющие скорости

,

,

.

Рассмотрим методику решения задач, в которых движение точки задано координатным способом. Уравнения (1) определяются либо из геометрических условий, либо в результате интегрирования дифференциальных уравнений движения точки. Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки рассматривается в разделе “Динамика точки”. Получение уравнений (1) с использованием геометрии движения рассмотрим на примере исследования движения точки обода колеса.


Пример 2.

Найти уравнения движения точки М обода колеса радиуса R вагона, который движется по прямолинейному участку пути со скоростью V. Колесо катится без скольжения. Точка М в начальный момент движения соприкасалась с рельсом. е. занимала положение М 0 (рис. 3).

Рис. 3

Решение.Изобразим на расчетной схеме (рис.3) оси координат х и у, начало координат поместим в начальное положение точки М 0.

Рассмотрим два положения колеса: в начальный момент t= 0 и в текущий момент времени t.

Отметим положение точки М на ободе колеса и положение центраСколеса в момент t, координаты точки:

>, .

Расстояние от центра колеса до рельса остается постоянным и равным R; это значит, что центр C колеса движется по прямой, параллельной оси х. За время tцентр колеса переместится на расстояние (закон равномерного движения точки C), одновременно колесо повернется на угол .

Чтобы получить уравнения движения точки М, надо координаты этой точки представить как функции времени.

Из расчетной схемы (рис.3) видно, что

,

или

, .

Из треугольника МЕС имеем;

,

,

Тогда , .(12)

Найдем зависимость угла определите по рис 10 координаты муравья в следующие моменты времени

>от времени t: так как колесо катится без скольжения, то длина дуги АМ окружности обода колеса (рис.3) равна длине отрезка М 0А.

При этом ,

но длина дуги АМ равна также произведению радиуса Rна центральный угол ; поэтому , отсюда .

Теперь уравнения (12) будут иметь вид

Полученные уравнения представляют собой уравнения движения точки М. В аналитической геометрии показано, что это параметрические уравнения циклоиды (параметром в данном случае является время t). Таким образом, траектория точки обода колеса, движущегося по прямолинейному участку пути без проскальзывания, является циклоидой.

Длина одной ветви циклоиды L (рис. 3) равна , высота – .

Пример 3. Даны уравнения движения точки:

(где x , y - в метрах, t- в секундах). (13)

1. Определить уравнение траектории и построить.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.

5. Построить график движения точки.

Решение.

1. Для получения уравнения траектории вида исключим из уравнений движения (13) время t: из первого уравнения системы (13) найдем

подставляя это выражение во второе уравнение той же системы, получим уравнение траектории

.

Это – уравнение прямой линии. Для построения прямой представим ее уравнение в отрезках

,

где а – отрезок, отсекаемый прямой на оси х, b– отрезок, отсекаемый прямой на оси. В данном случае а =,b. Откладываем на оси хотрезок а =, по оси у – отрезок b. Через полученные точки проводим прямую (рис. 4).

Рис.

4

2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение t= 0 в уравнения движения (13)

м;

м.

Точка при t= 0 занимает положение М 0(-1;4).

3. В момент пересечения точкой оси укоординатахравна нулю, а первое уравнение системы (13) примет вид:

.

Отсюда

где n= 0, 1, 2 …

В момент пересечения точкой оси х координата у равна нулю, а второе уравнение системы (13) примет вид:

или .

Но косинус не может быть больше 1. Следовательно, точка не пересекает осьх (см.

об этом. 4 решения задачи).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой (8). За начало отсчета координаты s примем начальное положение точки М 0. Подставляя в уравнения (13) значения t> 0, видим, что с выходом из начального положения М 0 координаты точки хи у увеличиваются. Это направление движения точки примем за положительное направление отсчета координаты s (см. стрелку на рис. 4), а в формуле (8) оставим знак “плюс”:

> .

Учитывая, что

получим

или

. (14)

Из закона (14) следует, что координата s не может быть отрицательной. е. точка движется по полупрямой М 0М(рис.4) и ось хне пересекает (см. по этому поводу. 3 решения примера).

5. График движения точки – это графическое представление зависимости расстояния s от времени t. Для построения такого графика по оси абсцисс откладывают последовательные значения времени t, а по оси ординат – соответствующие им значения расстояния s.

Построенные точки соединяют плавной линией. График зависимости (14) можно построить быстрее, если воспользоваться известным графиком косинуса. Для этого вначале построим график функции (штриховая линия на рис.5), затем этот график сместим вдоль оси s на величину м.

Рис.5

Пример 4. Даны уравнения движения точки:

(где x , y - в сантиметрах, t- в секундах). (15)

1. Определить уравнение траектории и построить.

2. Определить начальное положение точки на ее траектории.

3. Найти закон движения точки по траектории

> , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.

4. Определить время T прохождения точкой полной окружности.

Решение.

1. Чтобы найти уравнение траектории точки необходимо из уравнений движения (15) исключить время t. Для этого уравнения движения (15) разрешим относительно и и возведем полученные результаты в квадрат

сложим эти уравнения и после преобразования получим

.

Это уравнение окружности радиуса R =, центр окружности расположен в точке С(-2,5; 5) (рис. 6).

Рис. 6


2. Для определения начального положения точки подставим значение времени

> в уравнения (15)

см; см;

Точка при занимает положение М 0(2,5; 5).

3. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой (8). За начало отсчета координатыs примем точку М 0. Из системы уравнений (18) видно, что с увеличением времени tот нуля xуменьшается, аy увеличивается.

Такое возможно, если после выхода из начального положения точка будет двигаться по окружности против часовой стрелки. Это направление движения точки примем за положительное направление отсчета координатыs (см.

стрелку на рис. 6), а в формуле (8) перед интегралом оставим знак “плюс”:

определите по рис 10 координаты муравья в следующие моменты времени

> , где

Отсюда

(16)

4.

Определим время Т прохождения точкой полной окружности. Т – время, по истечении которого sв формуле (16) станет равным длине окружности :

Отсюда Т=4/3.

Пример 5. Даны уравнения движения точки:

(где x , y - в метрах, t- в секундах). (17)

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при t= 0 и t= 1.

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Решение:

1. Уравнение траектории получается подстановкой в первое уравнение системы (17) величины , полученной из второго уравнения этой системы:

> (18)

2. Модуль скорости точки определяется по формуле , где , – проекции вектора скорости на координатные оси. Для заданного движения (17) имеем

м/c.

Приt = 0: м/c.

Модуль скорости = 1 м/c.

Приt = 1 сек.: м/c.

Модуль скорости = 4,82 м/с.

Модуль ускорения точки определяется по формуле , где , – проекции вектора ускорения на координатные оси. Для заданного движения (17) имеем

Немного обжариваем с двух сторон, и она готова к употреблению. Небольшая квартирка в Нью-Йорке, уютная и тихая, из окон которой открывается вид на кусочек реки Гудзон.

>.

Приt = 0: .

Модуль ускорения

Как по графику зависимости координаты

>= 7,4 м/с 2.

При t = 1 сек.: .

Модуль ускорения = 0.

3. Траектория точки (18) представляет собой косинусоиду.

Рис.7


Для построения траектории найдем по уравнению (18) пять точек, задавшись пятью значениями у: у = 0, 1, 2, 3, 4, М 0(3; 0), М 1(0; 1), М 2(-3; 2), М 3(0; 3), М 4(3; 4). По этим точкам построена траектория на рис. 7. Определим положение точки в моменты времени t = 0 иt = 1, учитывая (17). При t= 0 x 0=, y 0= 0, точка занимает положение М 0(3; 0).

При t= 1 сек.

x 1 = 0, y 1=, точка занимает положение М 1(0; 1). Для этих положений точки построим векторы скорости и ускорения. От точки М 0 отложим проекции скорости V 0x=0 и V 0y=1 м/с (см.2); направление вектора показано на рис. 7. Вектор скорости построим следующим образом: через точку М 1 проведем оси и , ось параллельна оси x, а ось совпадает с осьюy. Вдоль этих осей от точки М 1 отложим отрезки, равные проекциям V 1x и V 1y (с учетом их знаков); затем построим прямоугольник, диагональ которого есть вектор

> . Модуль вектора ускорения равен модулю проекции a 0x (см. 2), направлен от точки М 0 в сторону, противоположную положительному направлению оси x(cкорости , должны совпадать с касательными к траектории соответственно в точках М 0 и М 1. Вектор должен быть направлен от точки М 0внутрь кривой).

Пример 6.Даны уравнения движения точки:

; (где x , y - в метрах, t- в секундах).

(19)

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при t= 1.

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Решение

1. Для того чтобы получить уравнение траектории, необходимо из уравнений движения (19) исключить время. Запишем эти уравнения в виде

Возведем оба уравнения в квадрат, вычтем второе из первого и получим уравнение траектории:

. (20)

Это уравнение равнобочной гиперболы, полуось которой b.

2. Определим проекции скорости

м/с; м/с.

В заданный момент времени t = 1 с, V 1x = 4,68 м/с, V 1 у = 6,16 м/с модуль скорости

> м/с.

Определим проекции ускорения

м/с 2, м/с 2.

В момент времени t = 1 с, а 1x = 6,16 м/с2, а 1 у = 4,68 м/с2 модуль ускорения м/с2.

3. Построим траекторию точки по уравнению (20). Действительной осью гиперболы является ось х (рис. 8). На траектории найдем точку М 1, соответствующую моменту времениt= 1 сек. Координаты этой точки: м; м;М 1 (6,16; 4,68).


Рис. 8

3
20.04.2018
Владимировна
Есть много способов приготовления начинки и глазури для этого торта, так что смело экспериментируйте.
Иван
Если есть какие то пожелания или предложения пишите.
Анастасия
Местность с хорошим фэн-шуй даже выглядит по-другому, не обязательно быть знатоком китайского учения, чтобы ощутить это.